martes, 23 de julio de 2013

El fútbol y la felicidad.

Escudo del Bayern de Múnich vsEscudo del Borussia de Dortmund

Weidenfeller, Grosskreutz y Schieber son jugadores del Borussia de Dortmund.

Sus dorsales son el 1, el 19 y el 23, respectivamente.

Acaban de perder la final de la Champions League en Wembley, pero son felices.

Lahm, Boateng y Javi Martínez son jugadores del Bayern de Múnich.

Sus dorsales son el 21, el 17 y el 8, respectivamente.

Acaban de ganar la final de la Champions League en Wembley, pero están tristes.


¿Puedes imaginar qué es lo que pasa aquí?


Quizás pienses: Bueno, lo de los jugadores del Borussia lo entiendo: supongo que llegar hasta la final de una competición continental es como para estar contento, aunque luego se pierda...

Sin duda, se trata de un éxito deportivo muy importante, aunque lo más normal es que el logro de haber conseguido un subcampeonato sea algo que se valore más cuando ya ha pasado un tiempo, pero no minutos después de haber perdido la final.

Quizás los jugadores del Borussia estén pensando en la prima que les corresponde por haber llegado hasta la final...

Aunque la prima no será desdeñable, seguro que en esos momentos la cambiarían sin titubear por haber ganado el título.

Estarán pensando en que hoy comienzan sus vacaciones...

Pues es un buen motivo para estar contentos, pero... ¿qué me dices de los jugadores del Bayern de Múnich?

Acaban de ganar la Champions, van a recibir una prima estupenda, y además se van de vacaciones... ¡Y están tristes!

Pues es verdad. Entonces, ¿cuál es la explicación?

Muy sencillo: los jugadores del Borussia de Dortmund están contentos porque son portadores de números felices, y los del Bayern de Múnich están tristes porque llevan en la camiseta números infelices.

¿Cómo? ¿Hay números felices e infelices?

número 1 feliznúmero 2 triste

Sí, los hay.

¿Y en qué se distingue un número feliz de otro que no lo es?

Pues los números felices se definen matemáticamente de la siguiente forma:

Se toman todos sus dígitos, y se calcula la suma de sus cuadrados. Este procedimiento se repite con el resultado obtenido hasta que el resultado final da siempre 1, o hasta que entramos en un bucle infinito que nunca llegará a dar 1.

Los números que, tras aplicar este proceso, dan el número 1, se llaman ‘números felices’, mientras que los restantes son conocidos como ‘números infelices’.

Vamos a ver un ejemplo de número feliz:

fórmula para averiguar si un número es feliz

Y ahora vamos a ver un ejemplo de número infeliz o triste:

fórmula para averiguar si un número es feliz

Puedes ver que a partir del número 4, la secuencia se vuelve a repetir, sin que nunca vayamos a obtener el número 1.

Formalmente, dado un número n = n0, se define una secuencia n1, n2, ... donde ni+1 es la suma de los cuadrados de los dígitos de ni. Entonces n es feliz si y sólo si existe ni de tal modo que ni = 1.

Así, los primeros números felices son:

1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, ...
número 7 feliznúmero 5 infeliz

Además, si un número es feliz, entonces todos los miembros de la secuencia de resultados que se generan también son felices, y si un número es infeliz, toda la secuencia de números que se generan al aplicar el procedimiento también son infelices.

Así, en el segundo ejemplo, tenemos que, no sólo el número 11 en infeliz, sino que también lo son los números 2, 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42 y 20.

Y aún más, de cualquier número feliz podremos obtener otros muchos, con tan solo insertar ceros entre sus cifras, o cambiando éstas de orden: 13, 31, 103, 130, 1003, 301, 3010...

Y, ¿por qué se llaman así, y cuál es su utilidad?

Pues no se sabe cuál es el origen de su nombre. Quizás se deba a que son felices porque finalmente llegan a su objetivo (el número 1), mientras que los infelices están condenados a vagar eternamente por el espacio matemático...

En cuanto a su utilidad, de momento no pasa de ser un entretenimiento matemático con el que practicar las potencias, pero quizás en un futuro se descubra alguna aplicación práctica. ¿Quieres intentarlo?

Si quieres saber más sobre los números felices, puedes consultar en la Wikipedia, o en el blog  Números y algo más

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