domingo, 24 de noviembre de 2013

El sorprendente caso del coche extra.

En el campeonato del mundo de fútbol de Canadá 2015 se van a repartir unos regalos a las mejores goleadoras. Pero un cambio de última hora en el número de regalos origina un curioso cambio en el reparto de los mismos.
(Esta entrada participa en la Edición 4.12310562 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog ::ZTFNews.org.)

PRIMERA PARTE


Ha finalizado el Campeonato del Mundo de Fútbol 2015 en Canadá.


Es la ceremonia de clausura y se van a otorgar los premios a las ganadoras de las distintas categorías.

En el apartado de goleadoras, las 3 primeras clasificadas han sido las siguientes:

1.- Yuki Ogimi, futbolista japonesa, con 12 goles.

2.- Lotta Schelin, jugadora sueca, también con 12 goles.

3.- Christine Sinclair, delantera y capitana del equipo canadiense, con 4 goles.

Se ha producido un empate a 12 goles en el primer puesto. La japonesa Ogimi ha quedado en primer lugar, porque ha dado más asistencias de gol.

En segundo lugar, con 12 goles también, pero con menos pases de gol, ha finalizado la jugadora sueca Schelin.

Y en tercer lugar se ha clasificado la canadiense Sinclair, con 4 goles.

Además del trofeo correspondiente, el patrocinador del campeonato, Yukon Cars ha decidido regalar 40 coches.
 
Darán un coche al presidente del Comité Organizador, otro al presidente de la Federación de Árbitros, y los 38 coches restantes a repartir entre las 3 mejores goleadoras en proporción a los goles marcados por cada una de ellas.

A última hora, el presidente del Comité Organizador decide renunciar a su regalo, ya que acaba de ser nombrado consejero delegado de la empresa canadiense de coches Manitoba Motors, competencia directa de Yukon Cars.

De esta forma, este coche se unirá a los otros 38 a repartir entre las 3 goleadoras.


Esta noticia es recibida con alegría por todas las jugadoras. Bueno, por todas menos por Christine Sinclair, que además de buena futbolista, es una aficionada a las Matemáticas.

¿Por qué crees que no le ha gustado a Christine este cambio de última hora?
  



En un par de días, publicaremos la solución. Mientras tanto, puedes pensar qué es lo que está ocurriendo, y animarte a darnos tu solución escribiendo un comentario más bajo, o bien participando en la página del evento en facebook o en google+.



Gracias a todos.




SEGUNDA PARTE



Pues parece que no tiene mucho sentido que esté triste porque haya un coche más para repartir, ¿verdad?

En un principio, parece que si el patrocinador está dispuesto a regalar un coche más, esto es algo que no debe perjudicar a nadie, sino que, al contrario, alguien saldrá beneficiado porque se llevará un coche más a su casa.


Además, y dado que las dos primeras clasificadas están empatadas a goles, y el coche de más no se puede repartir entre las dos de forma justa, parece lógico pensar que será Christine quien se vaya a llevar el coche extra.

Sin embargo, Christine Sinclair tiene motivos para estar preocupada.

¿Por qué? ¿No tiene espacio en su casa para aparcar tantos coches?

No, no se trata de eso. De hecho, los coches que le regalen los piensa sortear entre sus compañeras de equipo, que le han ayudado a marcar tantos goles.

¿Quizás, igual que el presidente del Comité Organizador, tiene algún familiar o amigo que trabaja en Manitoba Motors, la marca rival?

No, qué va. Además, le encantan los coches que fabrica la Yukon Cars.

Pues entonces no lo comprendo...

Bueno, vamos a ver cómo habría sido la primera asignación de regalos a las tres jugadoras, cuando el patrocinador iba a dar 38 coches.



Vemos que a Ogimi y a Schelin les habían correspondido 16,2857 coches (los matemáticos se referirían a una ‘cuota’ de 16,2857), y 5,4286 coches a Sinclair. Como no es posible partir los coches, se determina que a a japonesa y a la sueca les toquen 16 coches, y a Christine le den 5 coches (lo que corresponde a la ‘parte entera’ de la cuota). Ya hemos repartido 16+16+5=37 coches. Y el coche restante se lo adjudican a Christine, porque es la jugadora cuya parte decimal es mayor y está más próxima a la siguiente unidad.

No he entendido este último reparto muy bien....

Bien, a Ogimi y a Schelin, tras darles 16 coches, les deberían tocar 0,2857 coches más, mientras que a Christine le corresponderían 0,4286 coches más. Por tanto, Christine tiene más derecho que las otras dos a llevarse el coche sobrante. Este tipo de reparto es lo que en términos matemáticos se denomina el ‘método de los restos mayores’ o ‘método de Hamilton.

Ahora me queda más claro.

Veamos ahora qué ocurre cuando el patrocinador decide regalar un coche más.



Podemos observar que a las dos primeras jugadoras les corresponden 16 coches, y que a Christine le tocan 5. Sobran 2 coches, que vamos a repartir de la misma forma que la vez anterior.

A Ogimi y a Schelin les corresponden 0,7143 coches más, mientras que a Sinclair le tocarían 0,5714 coches más. Por tanto, los 2 coches sobrantes se asignan ahora a cada una de las dos primeras goleadoras, porque su partes decimales son mayores.

Así que ahora a Ogimi le tocan 17 coches, a Schelin otros 17 coches, y a Christine le tocan 5 coches, ¿no es así?

Eso es. Resulta que al aumentar los regalos en uno, a Christine, no sólo no le toca ningún regalo más, sino que encima pierde uno de los que le habría correspondido.

Pero esto será algo muy poco habitual, ¿verdad?

No creas, de hecho este tema ha merecido especial atención por parte de los matemáticos, los cuales lo conocen con el nombre de Paradoja de Alabama.

¿Por qué recibe este nombre?

Map from the Nations Online Project
Porque la primera vez que se detectó esta paradoja matemática fue en la Cámara de Representantes de los Estados Unidos de Norteamérica. En él, el número de asientos que corresponden a cada estado se redistribuyen cada 10 años, en función de las variaciones de población habidas durante ese periodo.

Así, tras el censo de 1880, ser realizó un estudio sobre una posible ampliación del número de representantes en la Cámara. De esta forma se descubrió que el estado de Alabama habría tenido 8 representantes en una cámara de 299 representantes, pero sólo 7 si los escaños fueran 300.

¿Y no existe ningún tipo de reparto en el que no se produzcan estas paradojas, y sea verdaderamente proporcional?

Muchos matemáticos han intentado dar una solución lo más justa posible al tema del reparto de escaños tras unas votaciones, sin que hayan conseguido un método perfecto.

Así, se han creado innumerables formas de asignar el número de representantes en función de los votos obtenidos, aparte del método de Hamilton que hemos visto aquí.

Están los llamados métodos del divisor, entre los que se encuentran el método de Jefferson (también conocido por método de los divisores naturales o regla d’Hondt), el método de Webster (denominado también de Sainte-Laguë o método de los divisores impares), el método de Hill-Huntington, el método de Dean, el método de Adams, o el método danés, entre otros.

En estos sistemas se producen varias paradojas: la paradoja de Alabama, la paradoja de la población, o la paradoja del nuevo estado.

Y también tenemos los sistemas de voto preferente, entre los que contamos con el de mayoría simple o relativa, el de segunda vuelta, el recuento Borda, el método Condorcet, el de voto transferible o el 'approval voting'.

Pero son igualmente imperfectos. Así, todos recordamos la historia de la paradoja de Arrow, por ejemplo.


Pero habrá alguno que sea mejor que los demás, ¿no?

De todos ellos, el método de Webster, también llamado método de Sainte-Laguë o método de los divisores impares parece ser que es el que produce menores injusticias, aunque no es precisamente el más utilizado. Porque luego está la voluntad política de cada país respecto a si quieren que su Parlamento sea un reflejo más o menos perfecto de los intereses de sus ciudadanos, o si deciden primar otra serie de cuestiones, como la de favorecer la gobernabilidad a través de beneficiar a los partidos mayoritarios, u otra serie de cuestiones.

Pues a la vista de todos los problemas que surgen a la hora de los repartos de escaños, o de regalos, como en nuestro caso, sí que tenía razón Christine al preocuparse cuando dijeron que iban a repartir un coche más....

Sin duda, ella habría leído con anterioridad alguno de estos estupendos enlaces sobre la paradoja de Alabama'Del voto y sus paradojas', 'Matemáticas en los sistemas electorales' o 'Sistemas electorales'. 

Y respecto a este tema de repartos, votaciones y paradojas, seguro que también había leído alguna de nuestras historias: 'Y ahora, ¿quién tira el penalty?''El problema del reparto justo', o 'El cancerbero de oro'.


Entonces, ¿debería Christine pedir que los coches se repartan por el método de Sainte-Laguë?

Pues, a pesar de ser el método que menos distorsiones produce, en este caso particular su aplicación supondría un problema adicional, como Tom (C.M) Thomson descubrió (gracias por la aportación). Aunque sí que es verdad que a Christine podría beneficiarle la utilización de dicho método.

¿Por qué?

Bueno, el sistema que utiliza este método es el siguiente:

Se cogen los goles que ha marcado cada jugadora, y se van calculando los cocientes resultantes de dividir el número de goles entre los sucesivos números impares. Y se van repartiendo los coches a los cocientes resultantes más grandes.

Veamos cómo se asignarían los 38 o 39 coches en este caso, mediante la siguiente tabla:


Los coches se irían asignando a las jugadoras por orden de los cocientes más grandes: 12 – 12 – 4 – 4 – 4 - 2,4 - 2,4 – 1,714 – 1,714 – 1,333 - 1,333 – 1,333 – 1,091 - 1,091 - etc...

Como puedes observar, los 37 primeros se repartirían fácilmente (los remarcados enn amarillo). Pero con los coches 38 y 39 tendríamos un grave problema, ya que las tres jugadoras tendrían el mismo derecho de que les tocase el coche, y ambas tienen el mismo cociente (0,364 – 0,364 – 0,364).


Evidentemente, debería haber algún tipo de regla para deshacer los empates. Pero si no se ha fijado ninguna, la asignación de los 2 últimos coches debería hacerse por sorteo, por lo que Christine tendría 2/3 de posibilidades de llevarse un coche adicional.

Entonces, ¡Christine debería pedir que se aplique este método, y no otro!


Si te gustó esta historia, puedes votar por ella en menéame y divoblogger. Muchas gracias.


Por último, quiero felicitar desde aquí al blog Cifras y Letras por su primer cumpleaños. ¡Felicidades! Que cumplas muchos más, y nosotros que lo veamos.

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