martes, 18 de diciembre de 2012

El partido solidario y las medias aritméticas

Es Navidad, y se está jugando un partido solidario en beneficio de los Matemáticos Incomprendidos. Se produce una sustitución, y sube la media de edad de uno de los equipos. Con estos datos, desarrollamos una interesante reflexión sobre las medias aritméticas y su modificación en función de los miembros que integran el grupo.


PRIMERA PARTE


Estadio Olímpico de Montreal
Es 25 de diciembre. Se celebra en el Estadio Olímpico de Montreal un partido solidario en beneficio de los Matemáticos Incomprendidos.

La alineación de uno de los equipos está formada por los siguientes jugadores:


Samir Nasri
Si calculamos la edad media del equipo titular, vemos que es de 25 años.

En el minuto 60 del partido, el entrenador decide sustituir a Nasri (25 años) por otro jugador.

Tras la sustitución, volvemos a calcular la media de edad, y comprobamos que ahora es de 27 años.

¿Podrías calcular cuál es la edad del nuevo jugador?

Media de edad del equipo antes y después de la sustitución, y cuando juegan con 12 jugadores


Tras este cambio, los entrenadores de ambos equipos deciden jugar el último cuarto de hora con 12 jugadores por equipo. 

¿Qué edad deberá tener el jugador extra que entra en el terreno de juego para que vuelva a subir la media otros 2 años más?

¿Te atreves a calcularlo? Pasa a la segunda parte para conocer la solución.


Homo mathematicus: calculo, luego existo


SEGUNDA PARTE

En el primer caso, para calcular la edad del reserva que va a saltar al terreno de juego, incrementando así la edad media del equipo en 2 años, el método más sencillo es el siguiente.

Sumaremos los años de todos los jugadores. Si la media es 25 años, y tenemos 11 jugadores, multiplicaremos 25 * 11 = 275 años. Este es el total de años que suman todos los jugadores titulares.

Después de la sustitución, los jugadores sumarán un total de: (25+2) * 11 = 297 años. Como hay una diferencia de 297 - 275 = 22 años, esto significa que el reserva que entra deberá tener 22 años más que el jugador al que va a sustituir, en este caso: 22 + 25 = 47 años.

Gheorge Hagi
¡Un bonito regalo de Navidad, en forma de homenaje, para Gheorghe Hagi!

En el caso de que haya 12 jugadores sobre el terreno de juego, los cálculos serían los siguientes: primero hallamos el total de años que suman todos los jugadores después del cambio realizado, multiplicando 27 * 11 = 297 años.

Ahora vemos cuál deberá ser el total de años después del cambio: 29 * 12 = 348. La diferencia de años es de: 348 - 297 = 51 años, lo cual quiere decir que el jugador entrante deberá tener 51 años.

Lothar Mathäus
¡Otro regalo de Navidad, ahora para Lothar Matthäus!

Hay veces que cuando entramos en un local donde, por ejemplo, se celebra un concurso de bailes de salón para mayores de 80 años, o una competición de juegos de videoconsolas para menores de 10 años, solemos decir: 'acabamos de subir/bajar la media de edad en 5 años'.

En realidad, controlamos intuitivamente el concepto de media de una forma relativamente correcta cuando se trata de manejar unos pocos valores, pero empezamos a perder la visión global de la misma conforme vamos incrementando la población que estudiamos.

Así, si nos atenemos al segundo caso, vamos a ver qué necesitamos para modificar la media de edad de un colectivo, cuando añadimos un elemento más al grupo.

Si llamamos x1,x2,...xn a las distintas edades de las personas que componen un grupo de n individuos, tendremos que su edad media será:
Edad media de un conjunto de n individuos
 
Si ahora añadimos una persona más (n+1), tendremos que su edad media será:

Edad media de un conjunto de n+1 individuos

Si queremos que esta media varíe en un número Δ de años respecto a la media anterior, tendremos:


Desarrollo de la fórmula de la edad media de un conjunto, cuando queremos que se incremente en un número determinado de unidades
Desarrollo de la fórmula de la edad media de un conjunto, cuando queremos que se incremente en un número determinado de unidades

Así que cuando queremos incrementar la media de edad de un grupo en un año (Δ= 1), necesitamos introducir un individuo cuya edad sea igual a la suma de la media anterior de edades más la cifra total de individuos y más 1.

Evidentemente, cuanto mayor sea n, esto es, cuanto más individuos integren el grupo, más difícil será encontrar a alguien lo suficientemente mayor para aumentar dicha media.

Y análogamente, si queremos reducir la media en una unidad, (Δ = -1), obtendremos que:

Fórmula para reducir la edad media de un conjunto de personas en una unidad

Lo cual quiere decir que si n es lo suficientemente grande, será imposible rebajar la media de edades en un año introduciendo sólo un individuo. 

Así que la próxima vez que visitemos un concurso de bailes de salón o una competición de consolas de videojuegos, no deberemos sentirnos extraños entre dicho público, ya que la media de edades apenas si se resentirá por nuestra presencia...

Si te apetece profundizar más sobre este tema del fenómeno Will Rogers y sobre xxx, puedes visitar cualesquiera de estas estupendas páginas: xxxxxx, xxxxxx.

Más abajo os dejo otros enlaces, por si os gustó la historia y la queréis compartir con vuestros amigos.



Y no os olvidéis de dar una vuelta por el Carnaval de Matemáticas. Allí encontraréis unos excelentes artículos matemáticos de los que disfrutaréis con su lectura.
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